今アルバイトで働いているのですが、事情で辞めることにしました。
６月２０日頃から次の仕事を始めたいのですが、就職活動（バイト探し）する場合、今すぐはじめてもいいのでしょうか？
２ヶ月先のことなので、あまり早くても雇用先に迷惑をかけるかもしれないと思いまだハローワークにも通ってないのですが・・・
とりあえず折込チラシでの職種の情報集め程度はしています。

履歴書を提出するときに、その旨を記入しておけばいいと思います。それが先方にとって都合が悪ければ落とされますし、いいのであれば受かる(それ以外の事由で落とされるかもしれませんが・・・)と思います。あと、面接の時、そういうことはだいたい聞かれると思います(いつから働けますか?という感じで)。

西部ガスの野球部に入部したいんですがセレクションとかあるんですか？あるなら日程とか場所を教えて下さい。それと高卒でもはいれますか？

西部ガスは連盟に加盟しましたが、新入社員の研修優先のため、公式戦デビューは秋の日本選手権予選か来年の都市対抗予選の見込みです。
監督さんいわく、三年以内の都市対抗本選出場を目指しているそうで、九州出身の実力者をスカウトするそうです。

九州出身であることと、実力があることをアピールしないと入れません。一応、企業チームですからね。

この状況は自己都合退職？それとも会社都合？
現在勤めているお店が9月末で閉店になる予定です（まだ正式決定ではありません）
社長は、私の意思次第ではお店を会社ごと譲渡してくれると言っています。
拒否した場合、グループ会社の別の部署に異動になるということではないと思いますので、事実上の解雇に当たると考えています。

自己都合と会社都合では雇用保険の給付時期が異なるということをどこかで聞いたので、それも参考に判断していくつもりです。

この状況で、私が拒否した場合、自己都合になるのか、会社都合になるのか、お詳しい方ご回答をお願い致します。

閉店と同時に解雇なら会社都合。
異動を拒否して退社の場合は、異動の内容によります。その場合は、ハローワークに相談してください。
店の譲渡を受けた場合は失業になりません。

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